Инструменты пользователя
Предусмотрено изучение следующих вопросов дисциплины РАЗДЕЛ 1. Введение
РАЗДЕЛ 2. Элементы линейной алгебры
(Матрицы и определители.
Системы линейных алгебраических уравнений.)
РАЗДЕЛ 3. Аналитическая геометрия
(Векторы на плоскости и в пространстве
Прямая линия на плоскости
Кривые второго порядка
РАЗДЕЛ 4. Комплексные числа
(Основы теории комплексных чисел)
РАЗДЕЛ 5. Математический анализ. Дифференциальное счисление
(Теория пределов
Производная функции
Дифференциал функции
Исследование функций с помощью производных)
РАЗДЕЛ 6. Математический анализ. Интегральное счисление
(Неопределенный интеграл
Определенный интеграл. Методы вычисления.
Несобственные интегралы.
Геометрические и механические приложения определенного интеграла)
РАЗДЕЛ 7. Теория рядов
(Числовые и степенные ряды.
Разложение функций в ряд.)
РАЗДЕЛ 8. Дифференциальные уравнения
(Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Задания для подготовки к экзамену Подготовка к экзамену по УД «Элементы высшей математики» Теоретические вопросы:
1. Понятие производной функции, ее ме¬ханический и геометрический смыслы. 2. Понятие сложной функции. Теорема о производной сложной функции 3. Теоремы о дифференцируемых функциях Ролля, Лагранжа, Коши. 4. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала функции. 5. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Вывод формулы приближенного вычисления значений функции. 6. Монотонность и экстремумы функции. Признаки возрастания и убывания функции. Алгоритм поиска экстремумов функции. 7. Монотонность и экстремумы функции. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений величин. 8. Исследование функции с помощью второй производной. Экстремумы функции, интервалы монотонности функции, характер выпуклости графика функции. 9. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. 10. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных 11. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. 12. Основные методы интегрирования. 13. Определенный интеграл, его геометрический и физический смыслы. Свойства определенного интеграла. 14. Формула Ньютона-Лейбница (вывод). 15. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. 16. Несобственные интегралы от разрывных функ¬ций. 17. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения. 18. Механические приложения определенного интеграла. Работа переменной силы. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и плоской фигуры 19. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула прямоугольни¬ков. 20. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула трапеций. 21. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула Симпсона. 22. Двойные интегралы и их свойства. 23. Числовые ряды. Определение. Виды. Признаки сходимости знакоположительного ряда. 24. Числовые ряды. Определение. Виды. Признак сходимости знакочередующегося ряда. 25. Числовые ряды. Определение. Виды. Признаки сходимости знакопеременного ряда. 26. Степенные ряды. Определение. Сходимость ряда. 27. Степенные ряды. Разложение функции в ряд Тейлора. 28. Степенные ряды. Приложение ряда Маклорена к приближенным вычислениям. 29. Дифференциальные уравнения. Определения, виды, общее и частное решения, задача Коши. 30. Теорема существования решения дифференциального уравнения. 31. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 32. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 33. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Методика и критерии оценки
Оценки «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» выставляются только при успешном решении задач второго этапа экзамена Оценка «отлично» предполагает умение увязывать теорию с практикой, владение понятийным аппаратом, глубокое и полное овладение материалом по заданной теме, обоснование своих суждений и правильность ответов на вопросы преподавателя. Оценка «хорошо» предполагает умение увязывать теорию с практикой, владение понятийным аппаратом, полное овладение материалом по заданной теме, обоснование своих суждений, но содержание ответов на некоторые вопросы преподавателя имеют отдельные неточности. Оценка «удовлетворительно» предполагает знание и понимание материала по заданной теме, но изложение неполно, непоследовательно, допускаются неточности в определении понятий, не обоснование своих ответов на вопросы преподавателя. Оценка «неудовлетворительно» предполагает ошибки в определении понятий, искажающие их смысл, беспорядочное и неуверенное изложение материала, ошибки в ответах на вопросы преподавателя.
Типовые практические задания
1. Найти производную функции y= x2ex – ln (sin x)
ln( x + 8 )
2. Найти производную функции y = ———–
x 2 - 4
3. Найти производную функции y= eSin x - x2 и вычислить ее при х= π. 4. Найти f ‘ ( π/4 ), если f(x) = cos (2x) ( 1 + sin (2x)). 5. Вычислить производную функции y = x4 /(2ех + 1) 6. Найти производную функции . y = 7. Точка движется прямолинейно с ускорением, заданным уравнением a = 8t + 10 (м/сек2). найти путь, пройденный точкой за 2 сек., если в момент времени t = 2 сек. точка имела скорость v = 28 м/сек и прошла путь s = 24 м 8. Скорость прямолинейного движения точки задана уравнением V = 2t3 – 4t – 2. Найти закон движения точки, если за время t = 2сек. она прошла путь S = 6 м.
9. Точка движется прямолинейно по закону S = 5t3 + 18t - 1. Найти скорость и ускорение точки через 4сек. после начала движения.
10. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением
S = -t3 + 3t2 + 9t + 10. Найти максимальную скорость движения тела.
x2 - 1
11. Определить промежутки монотонности функции y = ——-
x3
12. Определить возрастает или убывает функция f(x) = 2×3 – 3×2 + 5 в
точках с абсциссами х1 = 1, х2 = -2.
13. Найти экстремумы функции y = 2×3 + 9×2 + 12x + 5. 14. Найти экстремумы функции y = x2 – 3x - 5 15. Построить и вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и линией: y = 7 - x2. 16. Вычислить интеграл 17. Вычислить интеграл по частям 18. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 3
методом подстановки:
19. Вычислить интеграл методом подстановки 20. Вычислить неопределенный интеграл 21. Вычислить интеграл методом непосредственного интегрирования:
22. Вычислить интеграл по частям 23. Вычислить 24. Опpеделить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 – 3x,
x = 0, x = 4, осью OX.
25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=2x+x2 и
прямой y = x.
26. Фигура ограничена кривой y = , прямыми x=1, x=4 и y=0. Найти объем тела вращения вокруг оси ОХ и построить. 27. Построить и найти объем тела вращения вокруг оси OX.
Тело ограничено кривой y= x2 - 4x и осью ОХ
28. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболой y = 2x – x2 и прямой y = 0. 29. Решить уравнение: y′′ - 2y′ = 2 30. Решить дифференциальное уравнение: y′′ + 7y′ +12y = 0 31. Решить уравнение: y′′ - 4y′ +13y = 0 32. Найти общее решение уравнения (1+y2)dx + 2xdy = 0 33. Решить дифференциальное уравнение: y′′ + 7y′ + 12y = 0. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y’(0) = 2. 34. Найти общее решение уравнения: 3×2 dx - 4ydy = 0 35. Найти общее решение дифференциального уравнения y′ = ey/x+ y/x 36. Вычислить несобственный интеграл 37. Вычислить несобственный интеграл 38. Вычислить несобственный интеграл 39. Вычислить несобственный интеграл
40. Проверить на сходимость ряды:
41. Доказать сходимость рядов, используя признак Даламбера
42. Зная разложение в ряд функции sin(x), найти разложение
функции sin(5x) .
43. Зная разложение в ряд функции cos(x), найти разложение
функции cos(x2) .
44. Зная разложение в ряд функции ex, найти разложение функции ex+2 .
Инструменты страницы
